HTML Elementがソースに出現する順番を保持しているプロパティを見つけました。工夫次第で使えそうです。
お目当ての「何番目の子か」を保持しているプロパティは見つからなかったのですが、文書構造が固定的なら、例えばparentNodeのsourceIndex値を引くなどして同じような結果が得られるかもしれません（この場合兄弟がテキストノード以外含んでいない必要がある）。
確認したところ、HTML要素が0、HEAD要素が1という値を持っています。